名校
解题方法
1 . 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形
内接于椭圆
，其中点
，
分别在第三、四象限，边
，
与
轴的交点为
，
.
，且，为椭圆
的焦点，求椭圆的离心率；
(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点
也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：
是定值，并求出该定值；
(3)若是边长为1的正方形，边
，
与
轴的交点为
，
，设
（
，
，…，
）是正方形内部的100个点，记
，其中
，，
，
.证明：
，
，
，
中至少有两个小于81.
内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；(3)若
是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
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2024高三下·全国·专题练习
解题方法
2 . 已知点
为椭圆
上任意一点，直线
，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
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解题方法
3 . 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
（
且
）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆
，，为椭圆
长轴的端点，
，
为椭圆短轴的端点，，
分别为椭圆的左右焦点，动点
满足
，
面积的最大值为
，
面积的最小值为
，则椭圆的离心率为______ .
（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆，，为椭圆长轴的端点，，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为
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名校
解题方法
4 . 假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图，地面内有圆
，其圆心在线段
上，且与线段交于不与
重合的点，
地面，且
，
点为人眼所在处，视网膜平面与直线
垂直. 过点作平面
平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径
为____________ . 当圆的半径满足
时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为____________ .
，其圆心在线段上，且与线段交于不与重合的点，地面，且，点为人眼所在处，视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径为的半径满足时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为
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解题方法
5 . 已知椭圆C：
，
为左右两个焦点.
(1)写出此椭圆的长轴长，短轴长，离心率
(2)若一点P到左右焦点的距离之比为
，求点P的轨迹方程
(3)设A为椭圆长轴的左端点，
为椭圆上异于长轴端点的两点，记直线
的斜率分别为
且
，证明直线
恒过x轴一点，并求出此点坐标.
，为左右两个焦点.(1)写出此椭圆的长轴长，短轴长，离心率
(2)若一点P到左右焦点的距离之比为
，求点P的轨迹方程(3)设A为椭圆长轴的左端点，
为椭圆上异于长轴端点的两点，记直线的斜率分别为且，证明直线恒过x轴一点，并求出此点坐标.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，左、右顶点分别为，
，椭圆以，为焦点，以
为长轴．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点
满足
，过且与双曲线
的渐近线平行的两直线分别交于点，
，过且与
平行的直线交的渐近线于点
，．证明：
为定值，并求出此定值．
的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆以，为焦点，以为长轴．(1)求椭圆
的离心率；(2)设点
满足，过且与双曲线的渐近线平行的两直线分别交于点，，过且与平行的直线交的渐近线于点，．证明：为定值，并求出此定值．
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解题方法
7 . 如图，设椭圆
为
的左､右焦点，过点的直线
与交于
两点.
(1)若椭圆的离心率为
的周长为6，求椭圆的方程；
(2)求证：
为定值；
(3)是否存在直线，使得
为等腰直角三角形？若存在，求出的离心率
的值，若不存在，请说明理由.
为的左､右焦点，过点的直线与交于两点.(1)若椭圆
的离心率为的周长为6，求椭圆的方程；(2)求证：
为定值；(3)是否存在直线
，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的离心率的值，若不存在，请说明理由.
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
8 . 已知椭圆
．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点
是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为
；
(3)若点M为直线
上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为
，求△MAB的面积的最小值．
．(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点
是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线
上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△MAB的面积的最小值．
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解题方法
9 . 已知椭圆
，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，
．
(1)求C的离心率e；
(2)已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）．
（ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值；
（ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为
，求椭圆C的方程．
，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，．(1)求C的离心率e；
(2)已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）．
（ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值；
（ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为
，求椭圆C的方程．
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2024-01-25更新
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81次组卷
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2卷引用：河南省开封市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷
10 . 已知椭圆：
的左焦点为，为曲线：
上的动点，且点不在轴上，直线
交于，两点.
(1)证明：曲线为椭圆，并求其离心率；
(2)证明：为线段的中点；
(3)设过点，且与垂直的直线与的另一个交点分别为，
，求
面积的取值范围.
：的左焦点为，为曲线：上的动点，且点不在轴上，直线交于，两点.(1)证明：曲线
为椭圆，并求其离心率；(2)证明：
为线段的中点；(3)设过点
，且与垂直的直线与的另一个交点分别为，，求面积的取值范围.
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2024-02-13更新
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1528次组卷
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3卷引用：浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题
