1 . 已知双曲线
（
，
）的离心率为
，且经过点
.
(1)求
的方程；
(2)过原点
的直线与交于
，
两点（异于点
），记直线
和直线
的斜率分别为
，
，证明：
的值为定值；
(3)过双曲线上不同的两点
，
分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点
，且
，求
的最大值.
（，）的离心率为，且经过点.(1)求
的方程；(2)过原点
的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值；(3)过双曲线
上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值.
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2 . 已知双曲线
的实轴长为2，离心率为
，圆的方程为
，过圆上任意一点作圆的切线
交双曲线于，两点.
的方程；
(2)求证：
；
(3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，
，且
，求实数
的范围.
的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点.
的方程；(2)求证：
；(3)若直线
与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围.
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名校
解题方法
3 . 双曲线C：
的离心率为，点
在C上.
(1)求C的方程；
(2)设圆O：上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
的离心率为，点在C上.(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
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2024-05-17更新
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738次组卷
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4卷引用：江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试卷
江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试卷广东省广州市广雅中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题（已下线）直线与圆锥曲线的位置关系-一轮复习考点专练福建省厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查基础巩固练习数学试题
名校
解题方法
4 . 已知双曲线C：
（，）的离心率为2，
在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且
，求证：直线l过定点.
（，）的离心率为2，在C上.(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且
，求证：直线l过定点.
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2023-09-04更新
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533次组卷
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3卷引用：福建省福州市第四十中学2024届高三上学期10月数学适应性试题
名校
5 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为
．
(1)求椭圆
和双曲线
的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，
与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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1013次组卷
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8卷引用：河南省新乡市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题
名校
6 . 已知双曲线
，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的虚轴长与离心率；
(2)若过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线
，
的斜率
，
均存在，求证：
为定值；
(3)若过双曲线的右焦点
，是否存在
轴上的点
，使得直线绕点无论怎么转动，都有
成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
，直线交双曲线于，两点.(1)求双曲线
的虚轴长与离心率；(2)若
过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率，均存在，求证：为定值；(3)若
过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
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2023-11-10更新
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584次组卷
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3卷引用：上海市位育中学2024届高三上学期期中数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
7 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为
，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，
，若直线l交C于
，
，且点N在第一象限，
，直线
与直线
的交点P在直线
上，证明：直线MN过定点．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
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名校
解题方法
8 . 已知双曲线
的离心率为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
的离心率为，虚轴长为．(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
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2024-05-14更新
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591次组卷
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6卷引用：宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷
（已下线）宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷（已下线）宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟数学（文）试卷宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试卷（已下线）专题11 解析几何中的定值问题【练】（压轴大全）（已下线）第47题 双曲线中的定值问题（高二暑假弯道超车）贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题
9 . 已知双曲线（
）的离心率为
，点
在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)点
在双曲线上，直线
与
轴分别相交于
两点，点
在直线
上，若坐标原点为线段
的中点，
，证明：存在定点
，使得
为定值．
（）的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线
的方程；(2)点
在双曲线上，直线与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值．
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解题方法
10 . 用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为
.这个平面截圆锥面得到交线
是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点
，因此有
，而
是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为
，球的半径为4，平面
与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于
两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为__________ .
且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为
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