1 . 如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

   

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

2 . 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.

3 . 已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

5 . 已知双曲线，其中离心率为，且过点，求
(1)双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且，证明：为定值.

6 . 已知双曲线的渐近线方程为，点在上．
(1)求的方程．
(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为.
(1)求的标准方程；
(2)若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积.
①关于原点对称；②关于轴对称.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

8 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值．

9 . 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

10 . 已知点在双曲线上，双曲线的离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线交双曲线于不同于点的两点，直线和直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.