1 . 已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足．
（ⅰ）求斜率的取值范围；
（ⅱ）证明：点恒在一条定直线上．

2 . 已知双曲线过点，.
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.
(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆以，为焦点，以为长轴．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点满足，过且与双曲线的渐近线平行的两直线分别交于点，，过且与平行的直线交的渐近线于点，．证明：为定值，并求出此定值．

4 . 已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．
(1)证明：恰为的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；

6 . 已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．
(1)设O为坐标原点，求线段OP的长度；
(2)求证：PF平分．

7 . 已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.

9 . 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
(1)求的方程；
(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.

10 . 已知双曲线为双曲线上的任意点.
(1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
(2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.