1 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.

2 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若，求的值；
⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.

4 . 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，长轴长为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于点，若，求的面积．

5 . 已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,). 直线过点F且交椭圆C于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程．

6 . 如图，点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为6.

(1)求椭圆的方程；
(2)设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围.

7 . 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程.

8 . 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴 一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（Ⅱ）过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点.为坐标原点，若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.

9 . 设椭圆的中心为原点，焦点在轴上，上顶点为，离心率为．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设，过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程．

10 . 已知点，是椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.