1 . 已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点B（0，3）作斜率存在的直线交椭圆C于P，Q两点，连AP，AQ分别与x轴交于点M，N，记点M，N的横坐标分别为x_M，x_N.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试判断 x_M x_N   是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

2 . 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．

3 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：

4 . 如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.

(1)求直线AB的斜率；
(2)若直线AB与双曲线的左，右两支分别交于Q，R，求的取值范围.

5 . 已知椭圆经过．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．

6 . 已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，)，直线，相交于点Q．证明：点Q在一条平行于x轴的直线上．

7 . 双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

8 . 已知点在椭圆上，且椭圆的焦距为

(1)求椭圆的方程；
(2)过作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为，求的斜率.

9 . 已知椭圆的右焦点与上下顶点构成一个等腰直角三角形，且直线与椭圆仅有一个公共点．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率不为的直线过点，与椭圆交于，两点，弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的最小值．

10 . 已知椭圆的四个顶点所构成四边形的面积为，点在 上．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 经过的右焦点 交于 ， 两点，轴，交直线于点 ，试问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．