1 . 已知椭圆，右焦点，直线，过右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆交于两点，过点作，垂足为.
(1)求证：直线 过定点，并求出定点的坐标；
(2)点为坐标原点，求面积的最大值.

2 . 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个顶点与构成面积为的正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，轴上是否存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点.

5 . 已知椭圆：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求椭圆的标准方程
(2)证明直线过定点.

6 . 已知分别是椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交于点.当到的最大距离为4时，.
(1)求的标准方程；
(2)设的右顶点为，直线的斜率为，直线的斜率.若，
①求的值；
②比较与的大小.

7 . 已知是椭圆的一个焦点，过点的直线交于不同两点.当，且经过原点时，.
(1)求的方程；
(2)为的上顶点，当，且直线的斜率分别为时，求的值.

8 . 平面直角坐标系 ​中，已知椭圆​，椭圆​.设点​为椭圆​上任意一点，过点​的直线​交椭圆​于​两点，射线​交椭圆​于点​.
(1)求证: ​;
(2)求 ​面积的最大值.

9 . 如图，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，离心率为.过的直线与椭圆的一个交点为，过垂直于的直线与椭圆的一个交点为，.

(1)求椭圆的方程和点的轨迹的方程；
(2)若曲线上的动点到直线：的最大距离为，求的值.

10 . 已知椭圆C： (a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2＝，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求的值.