1 . 已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.

2 . 已知双曲线C：过点，右焦点F为，左顶点为A
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．

4 . 如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A，B两点，交x轴于点D，，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（       ）

A．的面积为b

B．P为AB的中点

C．的最小值为

D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率为2

5 . 已知直线和直线，过动点作平行的直线交于点，过动点作平行的直线交于点，且四边形（为原点）的面积为1．
(1)求动点的轨迹方程
(2)当动点的轨迹的焦点在轴上时，记动点的轨迹为曲线，若过的直线与曲线交于两点，在曲线上是否存在点，使的重心为原点．若存在，求出直线的方程：若不存在，请说明理由．

6 . 已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线过点

B．直线与双曲线有两个公共点

C．双曲线的一条渐近线的斜率小于

D．双曲线的离心率取值范围为

7 . 已知双曲线过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围．