名校
1 . 已知平面上到定点的距离与到定直线:的距离之比为常数的点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度,得到曲线及直线,写出及的方程(只写出结果);
(3)若,是上的两点,且.直线交直线于点,求直线与直线所成锐角的余弦值.
(1)求曲线的方程;
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度,得到曲线及直线,写出及的方程(只写出结果);
(3)若,是上的两点,且.直线交直线于点,求直线与直线所成锐角的余弦值.
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解题方法
2 . 直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,与的两条渐近线分别交于两点,从左到右依次排列,则( )
A.线段与线段的中点必重合 | B. |
C.线段的长度不可能成等差数列 | D.线段的长度可能成等比数列 |
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解题方法
3 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员,它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名,它的运行轨道和行星轨道很不相同,一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳,但在靠近太阳时,由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差,使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1,这使得少数彗星会出现“逃逸"现象,终生只能接近太阳一次,永不复返.通过演示,现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为的运行轨道,且慧星距离太阳的最近距离为.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程;
(2)设双曲线的两个顶点分别为,,过,作双曲线的切线,,若点P为双曲线上的动点,过P作双曲线的切线,交实轴于点Q,记直线与交于点M,直线交于点N.求证:M,N,Q三点共线.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程;
(2)设双曲线的两个顶点分别为,,过,作双曲线的切线,,若点P为双曲线上的动点,过P作双曲线的切线,交实轴于点Q,记直线与交于点M,直线交于点N.求证:M,N,Q三点共线.
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名校
4 . 已知双曲线,点和直线.(1)判定与交点的个数;
(2)当时,如图,过点作直线与的右支交于两点,与直线交于点,证明:.
(2)当时,如图,过点作直线与的右支交于两点,与直线交于点,证明:.
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5 . 已知平面直角坐标系中,有真命题:函数的图象是双曲线,其渐近线分别为直线和y轴.例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴,可将其图象绕原点顺时针旋转得到双曲线的图象.
(1)求双曲线的离心率;
(2)已知曲线,过上一点作切线分别交两条渐近线于两点,试探究面积是否为定值,若是,则求出该定值;若不是,则说明理由;
(3)已知函数的图象为Γ,直线,过的直线与Γ在第一象限交于两点,过作的垂线,垂足分别为,直线交于点,求面积的最小值.
(1)求双曲线的离心率;
(2)已知曲线,过上一点作切线分别交两条渐近线于两点,试探究面积是否为定值,若是,则求出该定值;若不是,则说明理由;
(3)已知函数的图象为Γ,直线,过的直线与Γ在第一象限交于两点,过作的垂线,垂足分别为,直线交于点,求面积的最小值.
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6 . 设双曲线,直线与交于两点.
(1)求的取值范围;
(2)已知上存在异于的两点,使得.
(i)当时,求到点的距离(用含的代数式表示);
(ii)当时,记原点到直线的距离为,若直线经过点,求的取值范围.
(1)求的取值范围;
(2)已知上存在异于的两点,使得.
(i)当时,求到点的距离(用含的代数式表示);
(ii)当时,记原点到直线的距离为,若直线经过点,求的取值范围.
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2024-05-08更新
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971次组卷
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2卷引用:浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题
7 . 已知双曲线,直线与双曲线交于两个不同的点A,B,直线与直线交于点.
(1)求证:点是线段AB的中点;
(2)若点A,B两点分别在双曲线两支上,求的面积的最小值(其中是坐标原点).
(1)求证:点是线段AB的中点;
(2)若点A,B两点分别在双曲线两支上,求的面积的最小值(其中是坐标原点).
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2024-05-08更新
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810次组卷
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2卷引用:辽宁省2024届高三下学期二轮复习联考(二)数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
8 . 费马原理,也称为时间最短原理:光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中,根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言,空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图,其中平凸透镜的平面圆直径为6,且与轴交于点.平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜,所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像.(提示:光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于,两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,,试求出点所有可能的坐标.
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线,试判断属于哪一种圆锥曲线,并求出其相应的解析式.
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于,两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,,试求出点所有可能的坐标.
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9 . 过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、,与的右支交与、两点,与的右支交、两点,若、相交于点.
(1)求证:点为定点;
(2)设的中点为的中点为,当四边形的面积等于时,求四边形的周长.
(1)求证:点为定点;
(2)设的中点为的中点为,当四边形的面积等于时,求四边形的周长.
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10 . 在直角坐标系中,圆Γ的圆心P在y轴上(不与重合),且与双曲线的右支交于A,B两点.已知.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为,且圆Γ过点F,求的取值范围.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为,且圆Γ过点F,求的取值范围.
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