1 . 已知椭圆的离心率为，且过点．若斜率为的直线与椭圆相切于点，过直线上异于点的一点，作斜率为的直线与椭圆交于两点，定义为点处的切割比，记为．
(1)求的方程；
(2)证明：与点的坐标无关；
(3)若，且（为坐标原点），则当时，求直线的方程．

2 . 已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．
(1)①若点坐标为，求证：直线的方程为；②若点的坐标为，求证：直线的方程为；
(2)若点在圆上，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.

4 . 已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．

5 . 已知点是椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线交椭圆于两点，点在椭圆上，，且，证明：.

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，直线与椭圆交于，两点．已知周长的最大值为，且当，时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设的面积为，若，求的取值范围．

7 . 已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为 ．

(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点分别为椭圆的左顶点与上顶点，为坐标原点，，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与直线平行，且与椭圆交于两点，当与的面积之比为时，求直线的方程．

9 . 已知椭圆的焦点与抛物线的焦点之间的距离为.

（1）求抛物线的方程；
（2）设与在第一象限的交点为，过点斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为.设，试求的取值范围.

10 . 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.