1 . 已知椭圆的左右顶点为A，B，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l的平行线与椭圆交于P，Q两点，与线段BM交于点，若，求．

2 . 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的一个端点，的面积为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若是椭圆上异于顶点的四个点与相交于点，且,求的取值范围.

3 . 设椭圆过点，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知为坐标原点，过点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

5 . 已知椭圆，离心率等于，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）①直线与椭圆交于两点．求的弦长；
②若直线与椭圆交于两点．且线段的垂直平分线经过点，求的面积的最大值．（为原点）

6 . 已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两点，求的值.

7 . 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.