1 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，则当点在圆上运动时，可求得线段的中点的轨迹方程是椭圆，相当于把圆压缩后得到了椭圆.现有一条不过原点的直线与椭圆交于、两点，则面积的最大值是__________.

2 . 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.
(1)求M的轨迹；
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明：是直角三角形；
②求面积的最大值.

3 . 如图，已知椭圆: ,过抛物线: 的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交于A、B两点，连接AB，与 的面积分别记为、 ，则在下列结论中正确的为（       ）

A．若记直线NO，MO的斜率分别为则 的大小是定值

B．的面积 =2

C．设   则

D．为定值5

4 . 已知椭圆的焦距为，且过点．

(1)求的方程．
(2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值．

5 . 已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直线的斜率为.
(1)当时，求的值；
(2)记，的面积分别为，，求的最大值.

6 . 已知椭圆：，其短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，动点，在上，记直线，的斜率分别为，，试问：是否存在常数，使得当时，的面积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明是定值；
(3)是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左、右顶点分别为、，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，且满足，求的面积最大值.

9 . 已知椭圆离心率等于，长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点．
(1)若，求；
(2)求证：为定值；
(3)当面积取到最大值时，求点的横坐标．