2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 已知椭圆C：
.过点
，两个焦点为
和
.设E，F是椭圆C上的两个动点.
(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；
(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.
.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点.(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；
(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.
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解题方法
2 . 已知椭圆
：
经过
，
两点，
是椭圆上异于
的两动点，且
，直线
的斜率均存在.并分别记为
，
.
(1)求椭圆的标准方程
(2)证明直线
过定点.
：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.(1)求椭圆
的标准方程(2)证明直线
过定点.
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解题方法
3 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线
上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线
上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．
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2023-04-13更新
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328次组卷
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3卷引用：陕西省宝鸡市千阳县中学2023届高三下学期十模理科数学试题
4 . 已知椭圆
的一个焦点是
．直线
与直线
关于直线
对称，且其相交于椭圆的上顶点．
(1)求
的值；
(2)设直线
分别与椭圆交于
两点，证明：直线
过定点．
的一个焦点是．直线与直线关于直线对称，且其相交于椭圆的上顶点．(1)求
的值；(2)设直线
分别与椭圆交于两点，证明：直线过定点．
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5 . 已知椭圆
经过点
，且离心率为
，
为椭圆的左焦点，点
为直线
上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为
，
，连接
，
，
．
(1)证明：直线经过定点
；
(2)若记
、
的面积分别为
和
，当
取最大值时，求直线的方程．
参考结论：
为椭圆
上一点，则过点
的椭圆的切线方程为
．
经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．(1)证明：直线
经过定点；(2)若记
、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．参考结论：
为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．
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名校
解题方法
6 . 如图，已知椭圆
的短轴长为
，焦点与双曲线
的焦点重合.点
，斜率为
的直线
与椭圆交于
两点.
的取值范围，并求椭圆的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆
，极点
（不是原点）对应的极线为
，且若极点在
轴上，则过点作椭圆的割线交于点
，则对于
上任意一点，均有
（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接
交
轴于点.连接
分别交椭圆于两点.
①设直线、分别交轴于点
、点，证明：点为、的中点；
②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.
的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.
的取值范围，并求椭圆的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆
，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.①设直线
、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；②证明直线：
恒过定点，并求出定点的坐标.
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2023高三·全国·专题练习
7 . 已知椭圆，
，
为的两个焦点，P为上一动点，射线
，
上取点M，N，满足
．另交于点Q，已知PQ长度的取值范围为
.
(1)证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
(2)若直线MN另交于A，B，求
的取值范围．
，，为的两个焦点，P为上一动点，射线，上取点M，N，满足．另交于点Q，已知PQ长度的取值范围为.(1)证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
(2)若直线MN另交
于A，B，求的取值范围．
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8 . 已知，是双曲线
的左､右顶点，
为双曲线上与，不重合的点.
(1)设直线
，
的斜率分别为，，求证：
是定值；
(2)设直线
与直线交于点，
与轴交于点
，点满足
，直线
与双曲线交于点
（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
，是双曲线的左､右顶点，为双曲线上与，不重合的点.(1)设直线
，的斜率分别为，，求证：是定值；(2)设直线
与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
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名校
解题方法
9 . 已知椭圆
过点
，长轴长为
.
(1)求椭圆
的方程及其焦距；
(2)直线
与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线
交于点，
为坐标原点且
，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
过点，长轴长为.(1)求椭圆
的方程及其焦距；(2)直线
与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
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2023-05-30更新
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1575次组卷
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5卷引用：北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模数学试题四川天府新区太平中学2022-2023学年高二毕业班摸底测试（理科）（一）试题（已下线）第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 章末重点题型大总结(2)西藏日喀则市2022-2023学年高二下学期期末统一质量检测数学（文）试题
名校
解题方法
10 . 在平面直角坐标系
中，已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线
分别与y轴交于点，且
，证明：直线过定点．
中，已知椭圆的离心率为，且过点(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线
分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点．
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