1 . 已知椭圆离心率为，焦距为.
(1)求的方程；
(2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点.

2 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.

3 . 已知点，在椭圆 上.

(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.

4 . 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求出定圆的方程．

5 . 已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

6 . 已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形面积的最小值．

7 . 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.

8 . 已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证线段必过定点，并求定点的坐标.

9 . 已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.

10 . 已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知定点，直线l：满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，始终满足，证明：直线l过一定点T，并求出定点T的坐标.