1 . 已知椭圆的上顶点为，点在圆上运动，且的最大值为．

(1)求的标准方程；
(2)经过点）且不经过点的直线与交于，两点，分别记直线，的斜率为，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

2 . 已知，是椭圆的左、右焦点，（不在轴上）是椭圆上一点，是线段的中点，的周长为3，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上一点，过作圆：的切线，直线与椭圆交于另一点，判定，的斜率之积是否为定值，若为定值，求出定值.

3 . 已知椭圆C：的离心率，且经过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)如果斜率为的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.
(3)试求三角形面积S取得最大值时，直线EF的方程.

4 . 知椭圆的离心率为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为椭圆在第一象限上一点，已知四边形面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为，是椭圆上关于轴对称的两点（异于顶点），直线分别交于轴于点设直线的斜率分别为试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.

5 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．
①求证：两点的纵坐标之积为定值；
②求面积的最小值．

6 . 已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

7 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

8 . 已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

9 . 已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．