解题方法
1 . 2020年11月,国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划(2021-2035年)》,要求深入实施发展新能源汽车国家战略,推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展,加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源,除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外,可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发,现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本(,2,3,…,10)的数据进行分析,得到如下散点图,
并计算得:,,,,.
(1)根据散点图可知,可用函数模型拟合y与x的关系,试建立y关于x的回归方程;
(2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大?(注:年利润年销售额年投入成本)
参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
并计算得:,,,,.
(1)根据散点图可知,可用函数模型拟合y与x的关系,试建立y关于x的回归方程;
(2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大?(注:年利润年销售额年投入成本)
参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
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解题方法
2 . 为了加快实现我国高水平科技自立自强,某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位:亿元)的散点图,其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022.
根据散点图,分别用模型①,②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型,并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据,计算得到如下表所示的一些统计量的值:
表中.
(1)根据残差图,判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型?并说明理由;
(2)根据(1)中所选模型,求出关于的经验回归方程,并预测该公司2028年的高科技研发投入.
附:对于一组数据,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
根据散点图,分别用模型①,②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型,并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据,计算得到如下表所示的一些统计量的值:
75 | 2.25 | 82.5 | 4.5 | 120 | 28.35 |
(1)根据残差图,判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型?并说明理由;
(2)根据(1)中所选模型,求出关于的经验回归方程,并预测该公司2028年的高科技研发投入.
附:对于一组数据,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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2023-07-11更新
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544次组卷
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4卷引用:山东省滨州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
山东省滨州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)第三节 成对数据的统计分析(第一课时) A卷素养养成卷 一轮复习点点通8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计练习(已下线)考点16 回归模型 2024届高考数学考点总动员【练】
名校
解题方法
3 . 某科技公司积极响应,加大高科技研发投入,现对近十年来高科技研发投入情况分析调研,统计了近十年的研发投入(单位:亿元)与年份代码共10组数据,其中年份代码,2,…,10分别指2013年,2014年,…,2022年.现用模型①,②分别进行拟合,由此得到相应的回归方程,并进行残差分析,得到下图所示的残差图.
根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中,.
(1)根据残差图,比较模型①②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;
(2)根据①中所选模型,求出关于的回归方程;根据该模型,求该公司2028年高科技研发投入的预报值.(回归系数精确到0.01)
附:对于一组具有线性相关关系的数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中,.
75 | 2.25 | 82.5 | 4.5 | 121.4 | 28.82 |
(2)根据①中所选模型,求出关于的回归方程;根据该模型,求该公司2028年高科技研发投入的预报值.(回归系数精确到0.01)
附:对于一组具有线性相关关系的数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
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2023-07-09更新
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340次组卷
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3卷引用:四川省资阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
四川省资阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题吉林省长春市南关区实验中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)第三节 成对数据的统计分析(第一课时) B卷素养养成卷 一轮复习点点通
解题方法
4 . 学生的学习除了在课堂上认真听讲,还有一个重要环节就是课后自主学习,人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生,对学生每天花在数学上的课后自主学习时间(分钟)和他们的数学成绩(分)做出了调查,得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习,拿到了该机构的一份数据表格如下(其中部分数据被污染看不清),小李据此做出了散点图如下,并计算得到,,的方差为350,的相关系数().
(1)请根据所给数据求出的线性经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩;
(2)受到小李的鼓励,小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上,小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟,而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持,小张的数学成绩从50分提升到90分,但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑,课后学习时间每天同样增加了40分钟,为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢,为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢?
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解,解答小王的疑惑;
②小李为了解答小王的疑惑,想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此,请在上图中补齐散点图,并给出一个合适的经验回归方程类型(不必求出具体方程,不必说明理由).
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
(1)请根据所给数据求出的线性经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩;
(2)受到小李的鼓励,小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上,小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟,而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持,小张的数学成绩从50分提升到90分,但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑,课后学习时间每天同样增加了40分钟,为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢,为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢?
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解,解答小王的疑惑;
②小李为了解答小王的疑惑,想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此,请在上图中补齐散点图,并给出一个合适的经验回归方程类型(不必求出具体方程,不必说明理由).
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
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解题方法
5 . 某公司近5年产品研发年投资额(单位:百万元)与年销售量(单位:千件)的数据统计表如下:
(1)根据上表数据画出年投资额与年销售量的散点图;
(2)该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型,并对年销售量取对数,得到如下数据表:
请根据表格数据、参考数据和公式,求出该非线性经验回归方程.
参考数据与公式:;对于一组数据,,…,,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
年投资额 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年销售量 | 0.5 | 1 | 1.5 | 3 | 5.5 |
(2)该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型,并对年销售量取对数,得到如下数据表:
年销售量 | 0.5 | 1 | 1.5 | 3 | 5.5 |
0 | 0.4 | 1.1 | 1.7 |
参考数据与公式:;对于一组数据,,…,,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
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6 . 台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产,因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地,所以这里的生蚝长得比其他地方肥大,味道更加鲜美.2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入,根据市场调研与模拟,得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下:
根据散点图,建立了y与x的两个回归模型:
模型①:;模型②:
(1)求出模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1);
(2)比较模型①,②的决定系数的大小,说明哪个模型拟合效果更好,并用该模型预测,要使年收益增量超过80万元,人工投入增量至少需要多少人?(精确到1)
线性回归方程的系数:
,;
模型的决定系数:.
参考数据:令,则,且,,,;模型①中;模型②中.
x | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
y | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
根据散点图,建立了y与x的两个回归模型:
模型①:;模型②:
(1)求出模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1);
(2)比较模型①,②的决定系数的大小,说明哪个模型拟合效果更好,并用该模型预测,要使年收益增量超过80万元,人工投入增量至少需要多少人?(精确到1)
线性回归方程的系数:
,;
模型的决定系数:.
参考数据:令,则,且,,,;模型①中;模型②中.
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7 . 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系,且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小,并且随着解释变量的增大,预报变量大致趋于一个确定的值,为拟合和之间的关系,应使用以下回归方程中的(为自然对数的底数)( )
A. | B. |
C. | D. |
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名校
8 . 兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市,据调查统计,得到杨梅销售价格(单位:Q元/千克)与上市时间t(单位:天)的数据如下表所示:
根据上表数据,从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系:.利用你选取的函数模型,在以下四个日期中,杨梅销售价格最低的日期为( )
时间t/(单位:天) | 10 | 20 | 70 |
销售价格Q(单位:元/千克) | 100 | 50 | 100 |
A.6月5日 | B.6月15日 | C.6月25日 | D.7月5日 |
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9 . 如图是某地在50天内感染新冠病毒的累计病例y(单位:万人)与时间x(单位:天)的散点图,则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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解题方法
10 . 某乡政府为提高当地农民收入,指导农民种植药材,取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据:
(1)根据表中数据,现有与两种模型可以拟合与之间的关系,请分别求出两种模型的回归方程;(结果保留一位小数)
(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果,请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好,并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入.
参考数据及公式:,,其中.,.
年份 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
平均收入(千元) | 59 | 61 | 64 | 68 | 73 |
(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果,请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好,并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入.
参考数据及公式:,,其中.,.
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