1 . 组合数有许多丰富有趣的性质,例如,二项式系数的和有下述性质:.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质,请帮他完成下面的探究.
(1)计算:,并与比较,你有什么发现?写出一般性结论并证明;
(2)证明:
(3)利用上述(1)(2)两小问的结论,证明:.
(1)计算:,并与比较,你有什么发现?写出一般性结论并证明;
(2)证明:
(3)利用上述(1)(2)两小问的结论,证明:.
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名校
2 . (1)已知k,,且,求证:;
(2)若,且,证明:;
(3)设数列,,,…,是公差不为0的等差数列,证明:对任意的,函数是关于x的一次函数.
(2)若,且,证明:;
(3)设数列,,,…,是公差不为0的等差数列,证明:对任意的,函数是关于x的一次函数.
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3 . 对于数列,记,称数列为数列的一阶差分数列;记,称数列为数列的二阶差分数列,…,一般地,对于,记,规定:,称为数列的阶差分数列.对于数列,如果(为常数),则称数列为阶等差数列.
(1)数列是否为阶等差数列,如果是,求值,如果不是,请说明为什么?
(2)请用表示,并归纳出表示的正确结论(不要求证明);
(3)请你用(2)归纳的正确结论,证明:如果数列为阶等差数列,则其前项和为;
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球,第2层有3个,第3层有6个球,…,每层都摆放成“正三角形”,从第2层起,每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球,问:这位同学共堆积了多少层?
(1)数列是否为阶等差数列,如果是,求值,如果不是,请说明为什么?
(2)请用表示,并归纳出表示的正确结论(不要求证明);
(3)请你用(2)归纳的正确结论,证明:如果数列为阶等差数列,则其前项和为;
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球,第2层有3个,第3层有6个球,…,每层都摆放成“正三角形”,从第2层起,每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球,问:这位同学共堆积了多少层?
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4 . 已知,则( )
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
5 . 在空间直角坐标系中,,则三棱锥内部整点(所有坐标均为整数的点,不包括边界上的点)的个数为( )
A. | B. | C. | D. |
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6 . “杨辉三角”(或“贾宪三角”),西方又称为“帕斯卡三角”,实际上帕斯卡发现该规律比贾宪晚500多年,若将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个如图所示的分数三角形数阵,被称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出,其中________ (用r表示);令,则的值为________ .
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7 . 已知数列的前项和为,且对于恒成立,若定义,,则以下说法正确的是( )
A.是等差数列 | B. |
C. | D.存在使得 |
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2022-04-07更新
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2444次组卷
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7卷引用:江苏省南京市第一中学2023届高三下学期2月期初考试数学试题
江苏省南京市第一中学2023届高三下学期2月期初考试数学试题湖北省二十一所重点中学2022届高三下学期第三次联考数学试题(已下线)考点13 数列概念及通项公式(核心考点讲与练)-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)粤湘鄂名校联盟2023届高三上学期第一次联考数学试题(已下线)山东省青岛第二中学2022-2023学年高三上学期1月期末测试数学试题变式题11-16山东省菏泽市菏泽一中八一路校区2024届高三上学期12月月考数学试题河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题
8 . 设集合,其中,,在M的所有元素个数为K(,2≤K≤n)的子集中,我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为(,2≤K≤n),每个K元子集的最大元素之和记为(,2≤K≤n),每个K元子集的最小元素之和记为(,2≤K≤n).
(1)当n=4时,求、的值;
(2)当n=10时,求的值;
(3)对任意的n≥3,,给定的,2≤K≤n,是否为与n无关的定值?若是,请给出证明并求出这个定值:若不是,请说明理由.
(1)当n=4时,求、的值;
(2)当n=10时,求的值;
(3)对任意的n≥3,,给定的,2≤K≤n,是否为与n无关的定值?若是,请给出证明并求出这个定值:若不是,请说明理由.
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9 . “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,,则下列选项不正确的是( )
A.在第9条斜线上,各数之和为55 |
B.在第条斜线上,各数自左往右先增大后减小 |
C.在第条斜线上,共有个数 |
D.在第11条斜线上,最大的数是 |
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2022-03-09更新
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3594次组卷
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17卷引用:江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2021届高考三二模数学试题
(已下线)江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2021届高考三二模数学试题江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学试题(已下线)第7章:计数原理 章末检测试卷-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)7.3 组合(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(苏教版2019选择性必修第二册)湖北省华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期四月综合测试数学试题(已下线)考点51 计数原理-备战2021年高考数学经典小题考前必刷(新高考地区专用)湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题重庆市南开中学2022届高三下学期高考模拟数学试题福建师范大学第二附属中学等五校2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题吉林省长春市第二实验中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题 广东省广州市奥林匹克中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题(已下线)专题3 杨辉三角(已下线)专题20 计数原理(讲义)-1(已下线)计数原理与排列组合(已下线)浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
解题方法
10 . 已知数列满足,,其中为常数,.
(1)求,的值;
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
(1)求,的值;
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
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2021-09-21更新
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597次组卷
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6卷引用:2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研数学试题
2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研数学试题江苏省2020届高三下学期高考压轴卷数学试题(已下线)预测11 计数原理-【临门一脚】2020年高考数学三轮冲刺过关(江苏专用)人教A版(2019) 选修第三册 突围者 第六章 第二节 课时2 组合与组合数(已下线)第02讲 排列与组合(核心考点讲与练)-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略(人教A版2019选修第二册+第三册)(已下线)6.2.3 组合(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第三册)