名校
1 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为
，
．定义X关于事件“
”
的条件数学期望为：
．已知条件数学期望满足全期望公式：
．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为
．规定
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)已知
，证明：
随着n的增大而增大．
，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为
．规定，．(1)求
；(2)求
；(3)已知
，证明：随着n的增大而增大．
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名校
解题方法
2 . 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为
，正确答案是三个选项的概率为
（
）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项．
①若
，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
| 选项 | 作出正确判断 | 判断不了（不选） | 作出错误判断 |
| A | 0.8 | 0.1 | 0.1 |
| B | 0.7 | 0.1 | 0.2 |
| C | 0.6 | 0.3 | 0.1 |
| D | 0.5 | 0.3 | 0.2 |
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为
，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项．①若
，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
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2024-09-26更新
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986次组卷
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2卷引用：广东省深圳市红岭中学（红岭教育集团）2025届高三上学期第一次统一考试数学试卷
解题方法
3 . 若数列
满足
，则称数列
为
项
数列，由所有项0
数列组成集合
.
(1)若是12项0数列，当且仅当
时，
，求数列
的所有项的和；
(2)从集合中任意取出两个数列
，记
.
①求随机变量
的分布列，并证明：
；
②若用某软件产生
项数列，记事件
“第一次产生数字1”，
“第二次产生数字1”，且
.若
，比较
与
的大小.
满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合.(1)若
是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；(2)从集合
中任意取出两个数列，记.①求随机变量
的分布列，并证明：；②若用某软件产生
项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.
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名校
解题方法
4 . 在
维空间中
，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标
，其中
.定义：在维空间中两点与
的曼哈顿距离为
.在
维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则
__________ .
维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则
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2024-10-19更新
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197次组卷
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6卷引用：广东省广州市部分学校2025届高三第二次教学质量联合测评数学试题
广东省广州市部分学校2025届高三第二次教学质量联合测评数学试题上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题一 随机变量的期望 微点3 随机变量的分布列、期望综合训练【培优版】上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（已下线）第五章 概率统计创新问题 专题二 概率统计与数列交汇 微点1 概率统计与数列交汇（一）【培优版】（已下线）第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（六大题型）（练习）
5 . 将4个面上分别写有数字
的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率．
(1)当
时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差；
(2)若正四面体有瑕疵，即
．
①设
是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：
；
②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率．
的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率．(1)当
时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差；(2)若正四面体有瑕疵，即
．①设
是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：；②求抛掷正四面体
次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率．
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6 . 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第
次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有
两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，记
盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.
(1)求
的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望
为定值.
次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.(1)求
的值；(2)求
的值（用表示）；(3)求证：
的数学期望为定值.
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2024-08-05更新
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974次组卷
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7卷引用：广东省八校2025届高三上学期8月联合检测数学试题
广东省八校2025届高三上学期8月联合检测数学试题（已下线）专题6 概率与统计中的新定义压轴大题（过关集训）（已下线）专题2 随机变量及其分布压轴大题（三）【讲】（已下线）第二章 概率 专题二 古典概型 微点2 古典概型（二）【培优版】（已下线）重难点突破03 高等背景下概率论新定义（七大题型）（已下线）阶段测4 周测12-周测13（高三一轮好卷针对提升卷）（已下线）第五章 概率统计创新问题 专题五 概率统计中的数学文化 微点3 概率统计中的数学文化综合训练【基础版】
名校
解题方法
7 . 某企业的设备控制系统由
个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为
，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为
（例如：
表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；
表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
(1)若
，且每个元件正常工作的概率
．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
(2)请用表示
，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．(1)若
，且每个元件正常工作的概率．①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
(2)请用
表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
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2024-07-15更新
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428次组卷
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3卷引用：广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
名校
解题方法
8 . 一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用表示停止时摸球的次数.
(1)求的分布列和期望；
(2)用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过
的概率.
表示停止时摸球的次数.(1)求
的分布列和期望；(2)用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过
的概率.
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解题方法
9 . 某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是
，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．
(1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
(2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率
；
(3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值
的大小．
，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．(1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
(2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率
；(3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值
的大小．
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解题方法
10 . 某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为
，答错的概率都为
，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为.
(1)求
；
(2)求（
）的分布列和期望；
(3)在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为
时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.
，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为.(1)求
；(2)求
（）的分布列和期望；(3)在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第
次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.
您最近一年使用：0次
