1 . 现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态.
(1)求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率；
(2)若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率；
(3)将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）.

2 . 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二.
(1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
(2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由.

3 . 某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？

8 . 2023年9月25日，在富阳银湖体育中心举行的杭州亚运会射击项目男子25米手枪速射团体决赛中，中国队以1765环的总成绩击败韩国队夺得冠军，并打破世界记录．现已知男子25米手枪速射决赛规则如下：取资格赛前6名选手进入决赛，5发子弹为一组，每发子弹9.7环以上得1分，否则得0分．若进入决赛的每位选手每组能得5分与4分概率分别为0.6，0.4．
(1)求某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率；
(2)设某位进入决赛的选手三组射击后得分为随机变量，求随机变量的分布列与期望．