1 . 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．

2 . 已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上个圆最多可以将平面分成个部分．
求，的值；
猜想的表达式并证明；
证明：．

3 . 已知，，如，，且，求证：；
用数学归纳法证明：当时，能被7整除．

4 . 已知为等差数列，为等比数列，公比为q（q≠1）．令A＝．A＝{1，2}，
（1）当，求数列的通项公式；
（2）设，q＞0，试比较与（n≥3）的大小？并证明你的结论．

5 . 已知，．
（1）若，求中含x²项的系数；
（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．

6 . 已知正项数列满足.
（1）求证:，且当时，；
（2）求证:.

7 . 已知数列满足，
（1）求，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．

8 . 是否存在常数使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.

9 . 已知数列满足且.
(1)计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法对你的结论进行证明．

10 . 已知数列满足…．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．