1 . 设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.

2 . 等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

3 . 已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．

4 . 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

5 . 三棱柱中，侧面底面，，，，，是棱上的一点，过的平面与相交于.

（1）求证：；
（2）若是的中点，求证：平面平面；
（3）求证：与平面不垂直.

6 . （1）已知，求证：．
（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．

7 . 已知数列的前项和为，.
（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1．

8 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

9 . 设数列的前项和为，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

10 . 已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.