1 . 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为．
(1)若对，为常数k，求k；
(2)若，用数学归纳法证明：．

2 . 设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

3 . 已知，…，所以，，….
(1)根据材料，归纳出一个一般性的不等式结论；
(2)用两种方法证明（1）中的结论.

4 . 已知（其中i是虚数单位）
(1)计算：，；
(2)猜想：的表达式，并用数学归纳法证明；
(3)计算：的值．

5 . 在无穷数列中，若存在，对于中的任意一项，都有成立，则称数列为A数列，m称为该A数列的特征值．
(1)若无穷数列是首项与公差都是1的等差数列，那么数列是否为A数列？若是，求出该数列的特征值；若不是，请说明理由；
(2)若数列是特征值为3的A数列，且，用数学归纳法证明：对任意且，不等式恒成立．

6 . 在数列中，，．
(1)求，，的值，并猜想的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明（1）中的猜想．

7 . 用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N^*).

8 . 已知数列满足：，，．
（1）计算，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

9 . 汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a_n.

（1）试写出a₁，a₂，a₃，a₄值，并猜想出a_n；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b_n＝n²这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较a_n与b_n的大小，并用数学归纳法加以证明.

10 . 用数学归纳法证明：，为虚数单位，，，且．