1 . 设实数，整数，．
(1)求证：当且时，；
(2)若数列满足，，求证：．

2 . 已知数列的前n项和，且，．
(1)求
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

3 . 已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

4 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

5 . 已知数列{a_n}的前n项和.
(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

6 . 用数学归纳法证明.

7 . 已知函数，（其中，且），
（1）若，求实数k的值；
（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．

8 . 设数列{a_n}满足a₁=3，．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

9 . 用数学归纳法证明等式.

10 . 观察以下等式：
1³＝1²
1³+2³＝（1+2）²
1³+2³+3³＝（1+2+3）²
1³+2³+3³+4³＝（1+2+3+4）²
（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝n³+n，求S₁₀．