1 . 设数列满足，且对任意正整数均有．求的通项公式．

2 . 已知数列的首项不为0，前项的和为，满足．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．

3 . 设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列，求的前项和．

4 . 记直线为曲线的渐近线．若，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，再过作轴的垂线交于点依此规律下去，得到点列，，，和点列，，，，为正整数．记的横坐标为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．

5 . 已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．

6 . 已知数列满足：，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)数列，求满足的最大正整数n．

7 . 已知数列的前n项和，且，．
(1)求
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

8 . 已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

9 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

10 . 已知数列{a_n}的前n项和.
(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.