1 . 首项为正数的数列满足．
(1)证明：若为奇数，则对，都是奇数；
(2)若对，都有，求的取值范围．

2 . 已知数列1，，，，…，（）的前项和为．
(1)求，，；
(2)猜想前项和，并证明．

3 . 已知数列的前n项和，且，．
(1)求
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

4 . 已知数列满足，前n项和．
(1)求，，的值并猜想的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．

5 . 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，，求证：对任意的，都有；
(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

6 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

7 . 已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

8 . 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．

9 . 已知数列{a_n}的前n项和.
(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

10 . 已知数列的通项公式，，试求，，的值，由此猜想的计算公式，并用数学归纳法加以证明.