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1 . 利用平面向量的坐标表示,可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”,即可将有序复数对(其中)视为一个向量,记作,类比平面向量的相关运算法则,对于复向量,我们有如下运算法则:
①
②;
③
④
(1)设,为虚数单位,求,,;
(2)设是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量,(其中),成立,证明:对于复向量,也成立;
②当时,称复向量与平行.若复向量与平行(其中为虚数单位,),求复数.
①
②;
③
④
(1)设,为虚数单位,求,,;
(2)设是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量,(其中),成立,证明:对于复向量,也成立;
②当时,称复向量与平行.若复向量与平行(其中为虚数单位,),求复数.
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2 . 对于无穷数列,我们称(规定)为无穷数列的指数型母函数.无穷数列1,1,…,1,…的指数型母函数记为,它具有性质.
(1)证明:;
(2)记.证明:(其中i为虚数单位);
(3)以函数为指数型母函数生成数列,.其中称为伯努利数.证明:.且.
(1)证明:;
(2)记.证明:(其中i为虚数单位);
(3)以函数为指数型母函数生成数列,.其中称为伯努利数.证明:.且.
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解题方法
3 . 已知,求的值.
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解题方法
4 . 借助复数、三角及向量的知识,可以研究平面上点及图像的旋转问题.请尝试解答下列问题:
(1)在直角坐标系中,已知点的坐标为,将绕坐标原点O逆时针方向旋转至.求点的坐标;
(2)设向量,把向量按顺时针方向旋转角得到向量,求向量对应的复数;
(3)设为不重合的两个定点,将点绕点按逆时针旋转角得到点,判断点是否能够落在直线上,若能,试用表示相应的值,若不能,说明理由.
(1)在直角坐标系中,已知点的坐标为,将绕坐标原点O逆时针方向旋转至.求点的坐标;
(2)设向量,把向量按顺时针方向旋转角得到向量,求向量对应的复数;
(3)设为不重合的两个定点,将点绕点按逆时针旋转角得到点,判断点是否能够落在直线上,若能,试用表示相应的值,若不能,说明理由.
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真题
5 . 已知复数和,其中均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有.
(1)试求m的值,并分别写出和用x、y表示的关系式;
(2)将作为点P的坐标,作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.
(1)试求m的值,并分别写出和用x、y表示的关系式;
(2)将作为点P的坐标,作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.
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真题
6 . 设,实系数一元二次方程有两个虚数根.再设在复平面内的对应点是.求以为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
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7 . 如图所示,已知点,又点B在焦点为点和点,长轴长为4的椭圆上运动,以为边作一正(A,B,P按顺时针方向排列),求P点的轨迹.
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8 . 设复平面中向量对应的复数为,给定某个非零实数,称向量为的向量.
(1)已知,,求;
(2)对于复平面中不共线的三点,,,设,,,求;
(3)设,,的向量分别为,,,已知,,,求的坐标(结果用,,表示).
(1)已知,,求;
(2)对于复平面中不共线的三点,,,设,,,求;
(3)设,,的向量分别为,,,已知,,,求的坐标(结果用,,表示).
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9 . 复数在复平面上对应的点为P,且.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若,求的取值范围.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若,求的取值范围.
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10 . 设复数是关于的方程(且,为实数)的虚数根.
(1)若,求的取值范围以及的值;
(2)若,求所有虚数的实部之和(用仅含有字母的式子表示);
(3)设虚数对应的位置向量为,记,若,求的取值范围(用仅含有字母的式子表示).
(1)若,求的取值范围以及的值;
(2)若,求所有虚数的实部之和(用仅含有字母的式子表示);
(3)设虚数对应的位置向量为,记,若,求的取值范围(用仅含有字母的式子表示).
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