1 . 已知数列满足，，令，设数列前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设正项数列满足，求证：．

2 . 已知函数．
（1）若函数的解集为，求函数的解集；
（2）若，，，试证明：对于任意，有；
（3）若时，有，求证：当，．

3 . 已知M是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何(其中为函数的定义域)，均有成立.
（1）已知函数，判断与集合M的关系，并说明理由；
（2）是否存在实数a，使得属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）对于实数，用表示集合M中定义域为区间的函数的集合，定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为的“绝对差上界”，T的最小值称为的“绝对差上确界”，符号.求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.

5 . 如果函数，满足：对于任意，均有(n为正整数)成立，则称函数有“n级”性质.
（1）分别判断，是否具有“1级”性质，并说明理由.
（2）在区间上是否存在具有“1级”性质的奇函数，满足：，且对于任意实数，都有成立？若存在，请写出一个满足条件的函数；若不存在，请说明理由.
（3）已知定义域为R的函数具有“2级”性质，求证：对任意，都有成立.

6 . 已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：

7 . 已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求证：．

8 . 已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．

9 . 已知正项数列满足，.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）设数列的前项和为，证明：当时，.

10 . 已知数列和满足，且对任意的，，.
（1）求，及数列的通项公式；
（2）记，， 求证：，.