1 . 已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，
(1)；
(2)；
(3)．

2 . 已知数列的各项为正且满足，．
(1)证明∶．
(2)令，记数列的前n项和为，证明．

3 . 已知函数，且点处的切线为．
(1)求、的值，并证明：当时，成立；
(2)已知，，求证：．

4 . 黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题：
（1）_____；（其中表示不超过的最大整数，如）
（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则_________.（参考数据：）

5 . 定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”．
(1)若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数；
(2)若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
(3)设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由．

6 . 已知数列中，，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．

7 . 设正项数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和.

8 . 已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：

9 . 在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，当时等号成立，所以的最小值为3．已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为________；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为________．

10 . 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”（不必说明理由）；
(2)若等差数列是15阶“期待数列”，求的通项公式；
(3)记阶“期待数列”的前项和为，证明：
（i）；
（ii）.