【推荐1】如图，已知点，点均在圆上，且，过点作的平行线分别交，于两点.

（1）求点的轨迹方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点．问是否存在常数，使得点为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知圆，动点到圆心的距离与到直线的距离之比为．动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若直线过曲线的左焦点，交圆于，两点，交曲线于，两点（在左边，在左边），且，求直线的方程．

【推荐3】在平面直角坐标系中，①已知点，直线，动点P满足到点Q的距离与到直线的距离之比为．②已知点是圆上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P．③点分别在轴，y轴上运动，且，动点P满足．
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）设圆上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的值；
（3）求证：四边形的面积为定值.

【推荐3】已知椭圆C：(a>b>0)的左右焦点分别为F₁，F₂点.M为椭圆上的一动点， MF₁F₂面积的最大值为4.过点F₂的直线l被椭圆截得的线段为PQ，当lx轴时，
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁作与x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标x₀是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.