【推荐1】如图所示，曲线是以坐标原点为顶点，轴为对称轴的抛物线，且焦点在轴正半轴上，圆．过焦点且与轴平行的直线与抛物线交于两点，且．

（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到其准线的距离为2，直线过点且与交于两点.
(1)求的值及直线的斜率的取值范围；
(2)若，求直线的方程.

【推荐1】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点到其准线的距离为5，过点的直线依次与抛物线及圆交于、、、四点.

（1）求抛物线的方程；
（2）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

【推荐2】已知抛物线：上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于两点、，且，是弦中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到，再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、，得到和，按此方法继续下去，解决下列问题：
①求证：；
②计算的面积；
③根据的面积的计算结果，写出、的面积，请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求此封闭图形的面积.

【推荐3】已知为坐标原点，过点的直线与抛物线C：交于两点.
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆：，证明：直线恒与圆相交.

【推荐1】已知点，直线上有两点E，F使，点P在线段的延长线上，且.
（1）若，求点P的轨迹方程；
（2）若在点P的轨迹上存在两点M，N，设，的夹角为.
①若，求证：直线过定点，并求定点坐标；
②若为锐角，求直线与x轴交点横坐标的取值范围.

【推荐2】抛物线上恒有两点关于直线对称．求的取值范围．

【推荐3】已知动圆过定点且与定直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知斜率为的直线交轴于点，且与曲线相切于点，设的中点为（其中为坐标原点）.求证：直线的斜率为0.

【推荐1】已知抛物线的方程为：，其焦点为，点为坐标原点，过焦点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点.
（1）求；
（2）若中点为，求证：平行轴；
（3）求三角形面积的最小值.

【推荐2】已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.

【推荐3】已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点，且斜率为的直线被曲线截得的弦为，若点在以为直径的圆上，求的值．