【推荐1】设圆满足：①截轴所得弦长为；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中.
(1)求圆心到直线的距离最小的圆的方程；
(2)在（1）的条件下，若圆的圆心在第一象限，将向左平移个单位，向下平移个单位，得到一个圆，点为直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，点为弦的中点，点，求的取值范围.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点．

(1)求圆的方程；
(2)求当满足时对应的直线的方程；
(3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值．

【推荐3】已知圆C经过两点，圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点，.
(1)若平行于AB的直线l与圆M相交于C，N两点，且，求直线l的方程；
(2)设直线与圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF的两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.

【推荐2】已知圆，直线，，是直线上的动点，点在圆上运动，且点满足为原点），记点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.