【推荐1】某公司生产一批产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元，该公司通过设备升级，生产这批产品所需原材料减少了吨，且每吨原材料创造的利润提高了；若将少用的吨原材料全部用于生产公司新开发的产品，每吨原材料创造的利润为万元，其中a>0．
（1）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求的取值范围；
（2）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求的最大值．

【推荐2】设不等式的解集为M，且．
（Ⅰ）试比较与的大小;
（Ⅱ）设表示数集A中的最大数， 且, 求h的范围．

【推荐3】为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：.
(1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【推荐1】已知为坐标原点，为坐标平面内动点，且成等差数列.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过点作直线交于两点(不与原点重合)，是否存在轴上一定点，使得_________.若存在，求出定点，若不存在，说明理由.从“①作点关于轴的对称点，则三点共线；②”这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答(注:如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分)

【推荐2】如图，已知定点，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）过定点且斜率为的直线与的轨迹交于､两点，若，求点到直线的距离.

【推荐3】在直角坐标系中，动点到轴的距离比点到点的距离少1.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)当时，过点的直线与交于两点，连接，延长与分别交于、两点，求与面积之和的最小值.

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，且点在上.
(1)求的方程；
(2)设，为的左、右焦点，过的直线交于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.

【推荐3】已知椭圆，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
(1)求椭圆C₂的方程
(2)已知F₁，F₂为椭圆C₂的两焦点，若点P在椭圆C₂上，且，求面积．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，一个焦点到其相应准线距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P为椭圆上任意一点，过P作圆的两条切线，切点分别为，连结，并延长分别交x轴，y轴于两点，求三角形OMN面积的最小值．

【推荐2】已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使最小.

【推荐3】已知的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，设直线与直线的斜率分别为，．
（1）求的值；
（2）设直线交直线于点，证明．