【推荐1】已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF₁⊥BF₁，求直线AB的方程．

【推荐2】2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．
(1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；
(2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位）

【推荐3】已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为.
(1)求的标准方程；
(2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.

【推荐1】已知椭圆的两个焦点为，其短轴长是，原点到过点和两点的直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是定直线上的两个动点，且，证明：以为直径的圆过定点，并求定点的坐标.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，P是椭圆G上任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|＝2．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线y＝x+m与椭圆G相交于不同的两点M，N，且B（0，﹣1）是否存在实数m，使得|BM|＝|BN|？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与椭圆相切于点，过椭圆的左、右焦点分别作重直于直线于，记，当为左顶点时，，且当时，四边形的周长为22.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.

【推荐2】已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.

【推荐3】已知椭圆：上有一点，点在轴上方，，分别为的左，右焦点，当△的面积取最大值时，.
(1)求的标准方程；
(2)若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，作，求证：为定值.