【推荐1】椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上两点、，若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.

【推荐2】已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线为椭圆C在点P处的切线，，且直线与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）点O为坐标原点，当和面积之和取最大值时，求直线的方程．

【推荐2】设、为椭圆：的左、右焦点，焦距为.双曲线：与椭圆有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为、两点，若有.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值.

【推荐3】设椭圆的离心率，且过点.设，是椭圆上的两个不同的动点，且直线，的倾斜角互补.
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）求的面积的最大值.