【推荐1】椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系.

（1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0≤φ＜2π），用表示点M的坐标，并求出C的普通方程；
（2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0≤α）的直线l₁与C交于D，E两点，过点F且垂直于l₁的直线l₂与C交于G，H两点.当，|GH|，依次成等差数列时，求直线l₂的普通方程.

【推荐2】已知数列，都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.
（1）设数列、分别为等差、等比数列，若，，，求；
（2）设的首项为1，各项为正整数，，若新数列是等差数列，求数列 的前项和；
（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知数列满足：，（），数列满足：，（），数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求证：数列是递增数列；若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．

【推荐2】已知数列{a_n}满足，，，成等差数列.
（1）证明:数列是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）记{a_n}的前n项和为S_n，.求证:

【推荐3】11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.

【推荐1】已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.

【推荐2】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知：数列的前项和为，且，______.
（1）求数列的通项公式；
（2）对大于1的自然数，是否存在大于2的自然数，使得，，成等比数列.若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知正项数列,其前项和为,且对任意,与1的等差中项等于与1的等比中项.数列满足且.
（1）求数列的通项公式.
（2）求证:．

【推荐2】已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．