【推荐1】设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
① 求；
② 对于①中的，是否存在正整数、，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知数列满足，，记数列的前n项和为.
（1）求的值；
（2）求的最大值.

【推荐3】已知数列的前项和为，已知，．
（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）若对任意都成立，求实数的取值范围．

【推荐1】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足      .
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和.

【推荐2】已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设数列___________，求数列的前项和．
请在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

【推荐3】如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么

(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?
(2)猜想：圆内两两相交的条线段，彼此最多分割成多少条线段?
(3)猜想：在圆内画条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分?

【推荐1】定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．

【推荐2】数列的前项和为，已知首项，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列，请判断数列是否为数列，并说明理由.

【推荐3】已知数列，如果数列满足，，则称数列是数列的“生成数列”．
（1）若数列的通项公式为，写出数列的生成数列”的通项公式．
（2）若数列的通项公式为（是常数），则数列的“生成数列”是否是等差数列？说明理由．
（3）已知数列的通项公式为，求数列的“生成数列”的前项和．