【推荐1】已知直角的三边长,满足.
(1)在之间插入个数,使这个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为,求斜边的最小值;
(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,且,求满足不等式的所有的值;
(3)已知成等比数列,若数列满足,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且是正整数.

【推荐2】已知抛物线的焦点为F，过原点O且斜率为的直线l与抛物线另一个交点为M，延长到点N，使得M为线段的中点，以N为圆心，长为半径作圆N，过F、M两点的直线m与抛物线另一个交点为A，与圆N另一个交点为B．

（1）设直线的斜率为，求的值：
（2）当成等比数列时，求直线l的方程．

【推荐3】记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(1)求数列的通项公式；
(2)记正项数列的前项和为，，，，求.

【推荐1】给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列．记数列的项数的最小值为．
条件①：的每一项都属于集合；
条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、…、第项（其中）形成的新数列称为的一个子数列．
(1)分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：
数列；
数列；
(2)求证：；
(3)求的值．

【推荐2】对于无穷数列，若正整数，使得当时，有，则称为“不减数列”.
(1)设，均为正整数，且，甲:为“不减数列”，乙:为“不减数列”.试判断命题:“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由;
(2)已知函数与函数的图象关于直线对称，数列满足，，如果为“不减数列”，试求的最小值;
(3)对于（2）中的，设，且.是否存在实数使得为“不减数列”?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.

【推荐3】定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列是“等和数列”，求实数的值；
（2）设数列通项公式为，且共有项，证明：不是等和数列；
（3）项数为的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”

【推荐1】已知数列满足，.
(1)若，求数列的前n项和；
(2)若，设数列的前n项和为，求证：.

【推荐2】已知是正项数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式恒成立，求的最小值.

【推荐3】已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数，设﹒
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若且，设，证明数列是等比数列；
（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．