【推荐1】等比数列的前n项和为S_n，已知S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则的公比为_____________.

【推荐3】等差数列，，，的第四项等于_____

【推荐1】在等比数列中，公比为2，前3项和为21，则___________

【推荐2】在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式______成立．

【推荐3】已知等比数列满足，，则公比q=__________．

【推荐1】记等比数列的前n项和为，其中,数列的前n项和为，若，且，则____________．（横线上写出一个满足条件的通项公式即可）

【推荐2】我国古代数学著作《九章算术》中记载有如下问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为______．

【推荐3】在等比数列中，其前n项和为，若，，则______．