【推荐1】已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若、分别是曲线与轴正、负半轴的交点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)记曲线的下顶点为，过点的直线（不经过点）与交于两点.证明：直线与直线的斜率之和是为定值.

【推荐3】如图，已知、，、分别为的外心，重心，.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）是否存在过的直线交曲线于，两点且满足，若存在求出的方程，若不存在请说明理由.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的长轴长为4，且经过点，其中e为椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点Q，过点Q作l的垂线，垂足为H，求证：点H在定圆上.

【推荐2】已知是椭圆的一个顶点，圆经过的一个顶点.
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于两点（异于点），记直线与直线的斜率分别为，且，求的值.

【推荐3】已知椭圆的标准方程为，点．
（Ⅰ）经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求．
（Ⅱ）问是否存在直线与椭圆交于两点、且，若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在说明理由．

【推荐1】已知两个定点，，动点M满足直线与的斜率之积为定值.
(1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
(2)若，设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为，k，（其中），的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为，.若，k，恰好构成等比数列，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆的焦点坐标为、，且点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设是直线上一点，过点作两条斜率之积为的直线、，且直线、均与椭圆只有一个公共点，求的坐标.