【推荐2】某大理石工厂初期花费98万元购买磨大理石刀具，第一年需要各种费用12万元，从第二年起，每年所需费用比上一年增加4万元，该大理石加工厂每年总收入50万元.
(1)到第几年末总利润最大，最大值是多少？
(2)到第几年末年平均利润最大，最大值是多少？

【推荐1】已知数列是等差数列，其前项和为，，．数列的前项和为，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求证：（ⅰ）；
（ⅱ）．

【推荐2】已知各项均不相等的等差数列的前四项和为14，且恰为等比数列的前三项.
（1）分别求数列，的前项和，；
（2）记数列的前项和为，求.

【推荐3】已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求.

【推荐1】设数列、
（1）求数列的通项公式；
（2）对一切，证明：成立；
（3）记数列、、

【推荐2】为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
（1）以2013年为第一年，设第n年出口量为a_n吨，试求a_n的表达式；
（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.9¹⁰≈0.35)

【推荐3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，求塔顶层灯的数目.你能求出来吗？

【推荐1】为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换万辆燃油型公交车.每更换一辆新车，就淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆.设，分别为从今年起年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.
（1）求，，并求从今年起年里投入的所有新公交车的总数量；
（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求的最小值.

【推荐2】“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值。例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．现有如下问题：小明想买一套房子有如下两个方案
方案一：一次性付全款50万元；
方案二：分期付款，每年初付款6万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为4%，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，假设存款的年利率为4%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）．参考数据：
．

【推荐3】已知，证明：．