【推荐1】已知，，其中，，且函数在处取得最大值.
（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆，其短轴长为2，右焦点为，动点在椭圆上，点满足，设点的轨迹为曲线.
（1）求椭圆的方程和曲线的方程；
（2）过点的直线交于，求面积的最大值.

【推荐3】已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于．
(1)求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
(2)当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)， 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，、分别为椭圆的左、右两个焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的切线（与椭圆有唯一交点）的方程为，切线与直线和直线分别交于点、，求证：为定值，并求此定值；
（3）设矩形的四条边所在直线都和椭圆相切（即每条边所在直线与椭圆有唯一交点），求矩形的面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的右焦点的坐标为，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，且，求的面积.

【推荐3】已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，且的最小值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且 ，当△AOB的面积S最大时，求的取值范围．