【推荐1】求圆心在点C（1，3）,并与直线3x–4y–7=0相切的圆的方程．

【推荐2】如图，点P是以为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，.

(1)当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
(2)求的最大值和最小值.

【推荐3】已知圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求该切线的方程.

【推荐1】规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题：
(1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由；
(2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由．

【推荐2】如图，某市有相交于点的一条东西走向的公路，与 南北走向的公路，这两条公路都与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城相切.根据市民建议，欲再新建一条公路，点、分别在公路、上，且要求与圆形商城也相切．
（1）当距处千米时，求的长；
（2）当公路长最短时，求的长．

【推荐3】在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．
（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？
（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？

【推荐1】已知椭圆的左，右焦点分别为，，垂直于x轴的直线与该椭圆交于P，Q两点，且．
(1)求该椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；
(2)求的面积及弦长的值．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，分别为的上顶点与右顶点，的周长为6，且．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为，求证：直线过定点．

【推荐3】如图，椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．

(1)若轴，求的值；
(2)若，求的面积及点P的坐标；
(3)求的最大值．

【推荐1】（1）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，点是双曲线上不同的两个动点，求直线与直线的交点的轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于两点，且直线与直线交于点，若，试证明为的中点．

【推荐2】已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.

【推荐3】已知椭圆的焦距为2，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，试问线段的中点是否有可能在椭圆上？若有可能，求直线的方程；若不可能，请说明理由．