【推荐1】已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【推荐2】已知函数且不等式对任意成立.
（1）求实数的取值范围；
（2）设取最大值时，求不等式的解集.

【推荐3】已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于正实数，，，满足，证明:.

【推荐1】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．

【推荐2】已知各项为正的数列满足，，．证明：
(1)；
(2)．

【推荐3】已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.

【推荐1】在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为.
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及（其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；

【推荐2】设数列的前项和为，已知（且），是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足条件的正整数的最大值．

【推荐3】已知数列前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．