【推荐1】以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点
(1)求的方程.
(2)在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

【推荐2】直线过双曲线的一个焦点，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作一条斜率为k的直线，若直线上存在点P，使得过点P总能作C的两条切线互相垂直，求直线k的取值范围.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，离心率为，焦点到渐近线的距离为2.直线过点，且垂直于轴，过的直线交的两支于两点，直线分别交于两点.
(1)求的方程；
(2)设直线的斜率分别为，若，求点的坐标.

【推荐1】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求的取值范围.

【推荐2】双曲线：的左顶点为，实轴长为2，过右焦点作垂直于实轴的直线交于，两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)，是右支上的两点，设直线，的斜率分别是，，若.
①求证：直线恒过定点；
②求点到直线的距离的取值范围.

【推荐3】若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．