我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆
：
，双曲线
是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，
，
分别为，的离心率，且
，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点
的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为
，
.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的
是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求
的取值范围.
：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线
的方程；(2)试探究
与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求
的取值范围.
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更新时间：2023-10-17 20:15:59
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(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
：
的左，右焦点分别为
，
，离心率为
，过焦点且垂直于
轴的直线截双曲线所得弦长为
．直线
：
与双曲线C的左支交于
，
两点，点A关于原点О对称的点为D．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线
与圆O：
相切．
：的左，右焦点分别为，，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线截双曲线所得弦长为．直线：与双曲线C的左支交于，两点，点A关于原点О对称的点为D．(1)求双曲线
的方程；(2)证明：直线
与圆O：相切．
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名校
解题方法
【推荐2】已知双曲线
的左、右焦点为、，虚轴长为
，离心率为，过的左焦点作直线
交的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，求
的大小；
(3)若
，试问：是否存在直线，使得点
在以为直径的圆上？请说明理由.
的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，求的大小；(3)若
，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
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，圆
与
在点
处的切线交双曲线
，试判断
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线：
（
，
）上一点
到的两条渐近线的距离之积为
．
(1)求
的标准方程；(2)若直线
与有两个不同的交点
，
，且
的内心恒在直线
上，求在
轴上的截距的取值范围．
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【推荐2】我们把等轴双曲线的一部分
与半圆
合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示．
(1)求“异型”曲线的方程；
(2)若
，
为“异数”曲线上的点，求
的最小值；
(3)若直线
与“异形”曲线有两个公共点，求
的取值范围．
与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示．(1)求“异型”曲线
的方程；(2)若
，为“异数”曲线上的点，求的最小值；(3)若直线
与“异形”曲线有两个公共点，求的取值范围．
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，点
到其左右焦点
上存在一点
的取值范围．
【推荐1】已知双曲线C的中心在原点，
是它的一个顶点.
是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设
，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
(3)若过点
任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:
为定值.
是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；
(2)设
，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；(3)若过点
任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.
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【推荐2】已知双曲线：的一条渐近线为
，椭圆：
的长轴长为4，其中
.过点的动直线
交于A，B两点，过点Р的动直线
交于M，N两点.
(1)求双曲线和椭圆的方程；
(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.
：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点.(1)求双曲线
和椭圆的方程；(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.
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，
，
分别为双曲线的左､右焦点.
，
，求证：
为定值，并求出该定值.
