2024高三·全国·专题练习
1 . 我们约定,如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆,双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线,分别为的离心率,且,点分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点,若直线的斜率分别为.
(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由;
(ii)求的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点,若直线的斜率分别为.
(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由;
(ii)求的取值范围.
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2 . 已知双曲线的右顶点为,过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点作直线与双曲线相交于两点,直线分别交直线于两点,求的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点作直线与双曲线相交于两点,直线分别交直线于两点,求的取值范围.
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3 . 已知双曲线:(,)的右顶点,斜率为1的直线交于、两点,且中点.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
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4 . 已知直线:与双曲线:(,)相交于,两点,双曲线的左、右顶点分别为,,若直线与相交于点,则下列说法中错误 的是________ .(填写所有错误 命题的序号)
①实数的取值范围为或;
②直线与直线的斜率之积为定值;
③点在曲线上;
④的面积最大值为.
①实数的取值范围为或;
②直线与直线的斜率之积为定值;
③点在曲线上;
④的面积最大值为.
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5 . 设双曲线C:(,)的右焦点为F,点O为坐标原点,过点F的直线与C的右支相交于A,B两点.
(1)当直线与x轴垂直,且两点的距离等于双曲线C的实轴长时,求双曲线C的离心率;
(2)若双曲线C的焦距为4,且恒成立,求双曲线C的实轴长的取值范围.
(1)当直线与x轴垂直,且两点的距离等于双曲线C的实轴长时,求双曲线C的离心率;
(2)若双曲线C的焦距为4,且恒成立,求双曲线C的实轴长的取值范围.
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6 . 已知实数、满足,则的取值范围是( )
A. | B. |
C. | D. |
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7 . 若双曲线的一个焦点是,且离心率为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知点,过焦点的直线与双曲线的两支相交于A,B两点,求直线MA和MB的斜率之和的最大值.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知点,过焦点的直线与双曲线的两支相交于A,B两点,求直线MA和MB的斜率之和的最大值.
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2024高二·全国·专题练习
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8 . 已知双曲线上两个不同的点A,B关于直线对称,求实数k的取值范围.
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9 . 已知双曲线E:与直线l:相交于A、B两点,M为线段AB的中点.
(1)当时,求双曲线E的左焦点到直线l的距离;
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点,问:是否存在实数k,使得A、B是线段CD的两个三等分点?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
(1)当时,求双曲线E的左焦点到直线l的距离;
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点,问:是否存在实数k,使得A、B是线段CD的两个三等分点?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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10 . 在直角坐标平面中,的两个顶点A,B的坐标分别为,,两动点M,N满足,,向量与共线.
(1)求的顶点C的轨迹方程;
(2)若过点的直线与(1)轨迹相交于E,F两点,求的取值范围.
(1)求的顶点C的轨迹方程;
(2)若过点的直线与(1)轨迹相交于E,F两点,求的取值范围.
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