【推荐1】设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立.
（1）现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；
（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；
（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列.

【推荐2】已知数列，满足，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)设数列的前n项和为，求证：．

【推荐3】已知数列满足．
(1)若，证明∶为整数．
(2)若，证明：．

【推荐1】在（）个不同数的排列中，若时有（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．例如，三个数的排列中，因为，，称 7与3，7与4均构成逆序，而，3与4不构成逆序，于是排列的逆序数为2．记排列的逆序数为．
(1)求，，，并写出的表达式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明．

【推荐2】已知等差数列中，，，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)任意，，求数列的前2n项和．

【推荐3】已知等比数列的前项和为.
(1)求k的值及的通项公式；
(2)设，求的前项和，并证明：；
(3)设，求的前项和.

【推荐1】设，.证明：
（1），并说明等号成立的条件；
（2）.

【推荐2】已知数列的前项和，数列满足：，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求．

【推荐3】已知一个12位的正整数可以被37整除，且只包含数码，求这个12为数的各位数字之和的所有可能值.