【推荐1】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为有理数的点称为有理点，如果任作一条倾斜角为的直线，那么这样的直线最多能通过几个有理点？

【推荐2】已知三角形的顶点为.
(1)求边上的中线所在直线方程.
(2)求边上的高线所在直线方程.

【推荐3】已知椭圆的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，直线与轴交于点，为线段的中点，过点作直线于点.证明：，，三点共线.

【推荐1】已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），以坐标原点O为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x﹣y0的相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点F的直线l₁，l₂分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l₁⊥l₂，探究：是否存在常数λ，使恒成立.

【推荐2】已知椭圆的两个焦点分别为、，，点在椭圆上，且的周长为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且，，三点共线，求的最大值.

【推荐3】已知椭圆（）经过与两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，求证：为定值.

【推荐1】已知椭圆E：过点，且其离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）．

【推荐2】已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为.
（1）当时，求点到直线的距离；
（2）对任意，求证：.

【推荐3】如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆:,直线:过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)设直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在定点,使得当变化时,总有(为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.

【推荐2】已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由．