【推荐1】圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为的球，则的最大值为__________．

【推荐2】如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．

【推荐3】已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的等边三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为__________.

【推荐1】如图甲，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论：

①水面EFGH所在四边形的面积为定值；
②图乙中四边形ADHE的面积为定值；
③图丙中为定值；
④若，，记、分别是将四边形ABCD和水平放在地面上时的水面高度，则；
其中正确结论的序号是______．

【推荐2】已知某正三棱柱外接球的体积为,则该正三棱柱体积的最大值为______.

【推荐3】点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱所得截面面积为，五棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则_____，_____.

【推荐1】已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.

【推荐2】已知三棱锥，且均为等边三角形，二面角的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是_______________.

【推荐3】如图是甲烷的球棍结构，它的分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点．已知相邻的两个氢原子之间的距离为7，若不计原子大小，该正四面体内放入一个圆柱，使得圆柱的下底面在正四面体的底面，则当该圆柱的表面积取得最大值时，圆柱的底面半径为______．