【推荐1】已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．

【推荐2】已知双曲线(a＞0，b＞0)交x轴于A，B两点，实轴长为2，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线(km≠0)与双曲线交于D，E两点，Q为双曲线虚轴在y轴正半轴的端点，若，求实数m的取值范围．

【推荐3】已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.

【推荐1】在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.
问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【推荐2】双曲线具有这样的性质：若为双曲线上任意一点，则双曲线在点P处的切线方程为.已知双曲线的离心率为，并且经过.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l经过点，与双曲线右支交于P，Q两点（其中点P在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N.证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN.

【推荐3】已知双曲线方程为.
（1）求以定点为中点的弦所在的直线方程；
（2）以定点为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由.